Właściwie Jan Wiktor Lesman, stryjeczny brat poety Bolesława Leśmiana. Swoją twórczość literacką i kabaretową podpisywał pseudonimami Szerszeń, Szer-Szeń i Jan Brzechwa. W 1918 r. zapisał się na Wydział Humanistyczny Uniwersytetu Warszawskiego. Studia jednak przerwał i zaciągnął się do 36. Pułku Piechoty Legii Akademickiej. Brał udział w kampanii lwowskiej oraz w wojnie polsko-bolszewickiej. W latach 20. ukończył studia prawnicze na UW, dzięki czemu przez wiele lat utrzymywał się z wykonywania zawodu radcy prawnego specjalizującego się w ochronie praw autorskich – pracował m.in. w ZAIKS-ie. W okresie dwudziestolecia międzywojennego publikował w wielu czasopismach, m.in. w periodykach dziecięcych „Świerszczyk” i „Płomyczek”, piśmie „Skamander” oraz tygodniku „Wiadomości Literackie”. Był też autorem piosenek i skeczy wykonywanych przez znane wówczas kabarety „Czarny kot”, „Qui Pro Quo” i „Morskie Oko”.
Przed wojną wydał kilka tomików poetyckich, wśród których znalazły się: „Oblicza zmyślone” (1926), „Talizmany” (1929) oraz „Piołun i obłok” (1935). W 1938 r. ukazał się zbiór wierszy „Tańcowała igła z nitką”, a rok później „Kaczka Dziwaczka” – oba do dziś należą do klasyki polskiej literatury dziecięcej. Czas II wojny światowej spędził w Warszawie, pracując m.in. jako ogrodnik. Po upadku powstania warszawskiego znalazł się w obozie dla ludności cywilnej. Lata powojenne zaowocowały kolejnymi utworami dla dzieci opublikowanymi m.in. w tomikach „Sto bajek” (1958) i „Śmiechu warte” (1965). Czytelników zachwyciła też napisana przez Brzechwę prozą fantastyczno-naukowa trylogia: „Akademia pana Kleksa”, „Podróże pana Kleksa” i „Triumf pana Kleksa”.
Za całokształt swojego dorobku literackiego pisarz został wyróżniony w 1965 r. Nagrodą I Stopnia Ministra Kultury i Sztuki.