Poeta i tłumacz. Praktycznie całe życie spędził w Warszawie. Początkowo pracował jako nauczyciel, następnie całkowicie poświęcił się pracy przekładowej. W 1875 r. w Warszawie ukazało się pod redakcją Józefa Ignacego Kraszewskiego wydanie zebranych dramatów Szekspira pt. „Dzieła dramatyczne Williama Shakespeare (Szekspira)” w tłumaczeniach Józefa Paszkowskiego, Leona Ulricha oraz Stanisława Egberta Koźmiana, które wszystkim trzem tłumaczom przyniosło dużą sławę.
Paszkowski przełożył także wiele innych arcydzieł literatury światowej, m.in. „Fausta”, „Don Carlosa” Schillera, „Kaina” Byrona, „Hernaniego” Hugo i poematy Homera.